Deux points sur une feuille, une flèche tracée de l’un vers l’autre : voilà un vecteur. Derrière ce geste simple se cache un outil de calcul qui permet de vérifier si des droites sont parallèles, de repérer un point dans le plan ou de prouver un alignement. Le calcul sur les vecteurs dans le plan repose sur quelques opérations accessibles dès la seconde, à condition de bien comprendre ce que représentent les coordonnées et comment les exploiter.
Coordonnées d’un vecteur : la mécanique de base du calcul
Avant de parler de colinéarité ou de parallélisme, il faut savoir traduire un vecteur en deux nombres. Dans un repère (O, i, j), le vecteur qui relie un point A(x_A ; y_A) à un point B(x_B ; y_B) a pour coordonnées : (x_B – x_A ; y_B – y_A).
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Prenons A(1 ; 3) et B(4 ; 7). Le vecteur AB a pour coordonnées (4 – 1 ; 7 – 3), soit (3 ; 4). Ce couple de nombres encode à la fois la direction, le sens et la longueur du déplacement de A vers B.
Vous avez remarqué que l’ordre des points compte ? Le vecteur BA donne (-3 ; -4), le même déplacement mais en sens inverse. Cette distinction entre AB et BA est une source d’erreurs fréquente dans les exercices de repérage.
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Autre point souvent négligé : deux vecteurs de mêmes coordonnées sont égaux, peu importe où ils se situent dans le plan. Si un vecteur CD a aussi pour coordonnées (3 ; 4), alors AB = CD. C’est cette propriété qui permet de « déplacer » un vecteur sans le modifier, et qui fonde la notion de translation.
Déterminant et colinéarité de deux vecteurs : le test décisif
Deux vecteurs sont colinéaires quand ils partagent la même direction (ou la direction opposée). Graphiquement, leurs flèches sont parallèles. En calcul, un seul outil suffit pour le vérifier : le déterminant.
Formule du déterminant
Soient u(x ; y) et v(x’ ; y’). Le déterminant de u et v vaut : x times y’ – y times x’. Si ce résultat est nul, les deux vecteurs sont colinéaires.
Exemple concret : u(2 ; 6) et v(3 ; 9). Le déterminant donne 2 times 9 – 6 times 3 = 18 – 18 = 0. Les vecteurs u et v sont donc colinéaires. On peut d’ailleurs vérifier autrement : v = 1,5 times u (chaque coordonnée de v est 1,5 fois celle de u).
Pourquoi le déterminant fonctionne
Le déterminant mesure l’aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs. Quand cette aire est nulle, les vecteurs sont « à plat » l’un sur l’autre, alignés sur la même droite. C’est une interprétation géométrique qui donne du sens au calcul, au lieu de l’appliquer mécaniquement.
Attention au vecteur nul (0 ; 0) : il est colinéaire à tout vecteur, par convention. Le déterminant avec le vecteur nul donne toujours zéro, ce qui est cohérent mais peut surprendre dans un exercice si on ne le signale pas.
Prouver le parallélisme de deux droites par le calcul vectoriel
C’est l’application la plus directe de la colinéarité. Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. La démarche se déroule en trois temps :
- Calculer les coordonnées de chaque vecteur à partir des points donnés (soustraction des coordonnées).
- Calculer le déterminant des deux vecteurs obtenus.
- Conclure : si le déterminant vaut zéro, les droites sont parallèles (ou confondues). Sinon, elles sont sécantes.
Exemple : A(1 ; 2), B(5 ; 4), C(0 ; -1), D(6 ; 2). Le vecteur AB a pour coordonnées (4 ; 2), le vecteur CD a pour coordonnées (6 ; 3). Déterminant : 4 times 3 – 2 times 6 = 12 – 12 = 0. Les droites (AB) et (CD) sont donc parallèles.
Le parallélisme se ramène toujours à un calcul de déterminant. Pas besoin de tracer quoi que ce soit : les coordonnées suffisent. C’est ce qui rend la méthode vectorielle plus fiable que l’observation graphique, surtout quand les droites sont presque parallèles à l’oeil.
Erreurs classiques et pièges à éviter dans les exercices
La plupart des erreurs sur les vecteurs ne viennent pas d’un manque de compréhension, mais d’un manque de rigueur dans le calcul. Voici les plus courantes.
Inverser l’ordre de soustraction
Pour le vecteur AB, on calcule x_B – x_A, pas l’inverse. Inverser donne le vecteur BA, ce qui change le sens. Dans un problème de colinéarité, le sens n’affecte pas le résultat (le déterminant sera nul dans les deux cas). En revanche, dans un problème de repérage ou de translation, l’inversion de l’ordre fausse le résultat final.
Confondre colinéaire et égal
Deux vecteurs colinéaires partagent la même direction, mais pas forcément le même sens ni la même longueur. Les vecteurs (2 ; 3) et (-4 ; -6) sont colinéaires (le second vaut -2 fois le premier), mais ils ne sont pas égaux. En revanche, deux vecteurs égaux sont toujours colinéaires.
Oublier de vérifier le cas du vecteur nul
Si un des points est confondu avec un autre (par exemple A = B), le vecteur AB est le vecteur nul. Le déterminant avec n’importe quel autre vecteur sera nul, ce qui donne une colinéarité « triviale ». Certains énoncés piègent sur ce cas particulier.
- Toujours vérifier que les points sont distincts avant de conclure sur le parallélisme de deux droites.
- Relire les coordonnées avant de calculer : une erreur de signe sur un seul nombre fausse tout le déterminant.
- Écrire les vecteurs sous forme de colonne ou de couple pour éviter de mélanger abscisses et ordonnées.
Repérage dans le plan : du vecteur au point
Le repérage et le calcul vectoriel sont liés par une idée simple : un point se définit par sa position par rapport à l’origine, et cette position est décrite par un vecteur.
Dans un repère (O, i, j), dire que M a pour coordonnées (3 ; -1) revient à dire que le vecteur OM se décompose en 3i + (-1)j. Les coordonnées d’un point sont celles du vecteur qui le relie à l’origine.
Cette correspondance entre points et vecteurs permet de passer d’un registre à l’autre. Pour trouver le milieu de [AB], par exemple, on utilise les coordonnées des points : ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2). Pour vérifier qu’un point appartient à une droite, on teste la colinéarité de deux vecteurs formés à partir de ce point et de deux points de la droite.
Le calcul vectoriel dans le plan repose sur peu de formules : coordonnées d’un vecteur, déterminant, milieu d’un segment. La difficulté réside dans leur application rigoureuse, pas dans leur complexité. Chaque problème de parallélisme, d’alignement ou de repérage se ramène à ces mêmes opérations sur les coordonnées.